გადმოცემის თანახმად, ეს მონასტერი X საუკუნეში დააარსა სამმა ოქრიდელმა ბერმა - ძმებმა: მოსემ, აარონმა და იოანემ. თურმე ძმები ვერ შეთანხმდნენ, რომელი წმინდანის სახელი მიენიჭებინათ სავანისთვის. ღირსმა მოსემ ყოვლადწმინდა ღვთისმშობელი აირჩია, ღირსმა აარონმა - წმინდა ნიკოლოზი, ღირსმა იოანემ კი წმინდა დიდმოწამე გიორგი. დიდი ხნის კამათის შემდეგ მათ ტაძარში ჩაკეტეს ხატის დასაწერად გამზადებული ფიცარი და დაიწყეს ლოცვა. დილით, როდესაც ტაძარი გააღეს, ნახეს, რომ ფიცარზე გამოსახული იყო წმინდა მოწამე გიორგი, რომლის პატივსაცემადაც აკურთხეს ტაძარი. X საუკუნეში უკვე გვხვდება იღუმენის ხელმოწერა წმინდა მთის I ტიპიკონში, მაგრამ ისტორია არაფერს ამბობს მონასტრის შესახებ თითქმის XIII ს-მდე. ამის მიზეზი ხანძრები იყო, რომელთაც მონასტრის არქივები გაანადგურა. ამ დროისათვის სავანე მთლიანად ბულგარელი ბერებით იყო დასახლებული. 1276 წლის 10 ოქტომბერს აქ ლათინებმა 26 ღირსმოწამე დაწვეს, რომლებიც შეეწინააღმდეგნენ რომთან უნიას. ამ მოვლენის სახსოვრად 1873 წელს მონასტერში კენოტაფი (სიმბოლური საფლავი) გააკეთეს. მეკობრეთა ხელით არაერთგზის დანგრეული სავანე მალევე აღდგებოდა ხოლმე ბიზანტიის იმპერატორთა გულუხვი შეწირულობებით.

XIX საუკუნის II ნახევრამდე ბულგარელებთან ერთად მონასტერში ცხოვრობდნენ სერბები და არც ისე ცოტა ბერძენი. მსახურება ბერძნულ და სლავურ ენაზე მიმდინარეობდა. თანდათან სავანე თითქმის მთლიანად ბულგარული გახდა. ნიშანდობლივია, რომ იმ წლებში, როდესაც ბულგარეთის ეკლესიამ ურთიერთობა გაწყვიტა კონსტანტინოპოლის ეკლესიასთან, მონასტრის საძმო კონსტანტინოპოლის პატრიარქის ომოფორის (დაქვემდებარების) ქვეშ დარჩა.

მონასტრის საკათედრო ტაძარი აშენებულია 1801 წელს და მოხატულია 1817 წელს. სავანის ტერიტორიაზე კიდევ 8 ტაძარია, ამდენივე - მის კედლებს გარეთ. კარიესში მას ეკუთვნის ორი სახელოსნო და წარმომადგენლობა პროტატთან. მონასტრის მთავარი სიწმინდეებია: დიდმოწამე გიორგის ხელთუქმნელი გამოსახულება, აგრეთვე ყოვლადწმინდა ღვთისმშობლის ხატი, რომელსაც "დაუჯდომელი" ეწოდება.

ბიბლიოთეკაში დაცულია 126 ბერძნული და 388 სლავური ხელნაწერი, დაახლოებით 10000 ნაბეჭდი წიგნი. დღეისთვის ზოგრაფის მონასტერი ათონის იერარქიაში მე-9 ადგილს იკავებს. იქ 10 ბულგარელი ბერი ცხოვრობს.